P5643 [PKUWC2018]随机游走

发表于

闲扯

$min-max$ 容斥 $+$ 树上高斯消元 $+$ 子集和变换

大概是叫这个吧

题面

P5643 [PKUWC2018]随机游走

Solution

我们设 $E_i$ 表示到达点 $i$ 的期望时间。问题就是求：

显然可以用 $min-max$ 容斥来解决，即：

考虑怎么求 $\min_{i\in T}(E_i)$ 。

显然，我们可以列出方程：

若 $u\in S$ ， $E_u=0$ 。

按照套路，我们将式子写成 $E_u=k\cdot E_{fa_u}+b$ 的形式，可以得到：

这个可以直接通过树形 $dp$ 求解。

由于 $root$ 没有父节点，所以 $f_{root}=b_{root}$ 。

然后就可以每次查询暴力容斥了。

但是这样比较危险，我们可以用子集和变换优化，每次查询只需要 $O(1)$ 即可。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res;
}
const int MAXN = 20,mod = 998244353;
int n,q,rt,m,u,v,deg[MAXN],S,k[MAXN],b[MAXN],f[1<<19];
vector<int> G[MAXN];
il add_edge(int u,int v){
	G[u].push_back(v),++deg[u];
	G[v].push_back(u),++deg[v];
}
it mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
it add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
il inc(int &x,int y){x=add(x,y);}
il DFS(int u,int fa,int T){
	int totk=0,totb=0,inv=0;
	if(T&(1<<(u-1))) return ;
	for(auto v:G[u]){
		if(v==fa) continue;
		DFS(v,u,T);
		inc(totk,k[v]);
		inc(totb,b[v]);
	}
	inv=qpow(add(deg[u],mod-totk),mod-2,mod);
	k[u]=inv,b[u]=mul(add(totb,deg[u]),inv);
}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),read(q),read(rt),S=1<<n;
	for(ri i=1;i<n;++i)
		read(u),read(v),add_edge(u,v);
	for(ri T=1;T<S;++T){
		int times=-1;
		for(ri i=1;i<=n;++i){
			k[i]=b[i]=0;
			if(T&(1<<(i-1))) times=-times;
		}
		DFS(rt,0,T),f[T]=add(times*b[rt],mod);
	}
	for(ri md=1;md<S;md<<=1)
		for(ri r=md<<1,j=0;j<S;j+=r)
			for(ri k=0;k<md;++k)
				inc(f[j+k+md],f[j+k]);
	for(ri i=1;i<=q;++i){
		read(m);int T=0;
		for(ri j=1;j<=m;++j)
			read(u),T|=1<<(u-1);
		print(f[T]),puts("");
	}
	return 0;
}